评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第(I)部分的证明思路与标准答案基本一致：通过取最大值点η，分η>1和η≤1两种情况，分别应用拉格朗日中值定理，得到|f'(ξ)| ≥ M的结论。证明逻辑清晰，关键步骤完整。

但存在一处小瑕疵：在η>1的情况下，学生写的是"|1-f(η)/(2-η)| > |f(η)| > M"，这显然是识别错误或笔误，应为"|f(η)/(2-η)| > |f(η)| = M"。考虑到这是识别问题且不影响核心逻辑，不扣分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

第(II)部分的证明存在严重逻辑错误：

1. 学生从"∃ξ使得|f'(ξ)| ≥ M"和"∀x有|f'(x)| ≤ M"直接推出"|f'(x)| = M恒成立"，这是不正确的逻辑推理。实际上只能得到存在某点ξ使得|f'(ξ)| = M。

2. 学生错误地应用拉格朗日中值定理，认为存在ξ₀∈(0,2)使得f'(ξ₀) = [f(2)-f(0)]/(2-0) = 0，然后得出M = |f'(ξ₀)| = 0。这个推理有两个问题：一是拉格朗日中值定理要求的是存在某点导数等于平均变化率，但不一定是使|f'(x)|取最大值的点；二是即使f'(ξ₀)=0，也不能直接推出M=0。

由于证明思路完全错误，且没有体现标准答案中通过积分不等式推导M(1-x₀)≤0和M(1-x₀)≥0的关键步骤，扣分较多。

得分：1分（给予1分是因为结论正确，且提到了f(2)=f(0)=0的条件）

题目总分：5+1=6分