评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"-3"。首先需要计算函数 \( f(x,y,z) = x^2 e^{y z^2} \) 在点 \((-1,0,1)\) 处的方向导数最小值。

方向导数的最小值等于梯度在该点模长的相反数。计算梯度：

\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \]

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x e^{y z^2} \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 z^2 e^{y z^2} \]

\[ \frac{\partial f}{\partial z} = 2x^2 y z e^{y z^2} \]

在点 \((-1,0,1)\) 处：

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2(-1) e^{0} = -2 \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = (-1)^2 (1)^2 e^{0} = 1 \]

\[ \frac{\partial f}{\partial z} = 2(-1)^2 (0)(1) e^{0} = 0 \]

所以梯度为 \((-2, 1, 0)\)，其模长为：

\[ \|\nabla f\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5} \]

方向导数的最小值为 \(-\sqrt{5} \approx -2.236\)。

学生答案"-3"与正确结果 \(-\sqrt{5}\) 不符，存在计算错误。根据评分标准，答案错误得0分。

题目总分：0分