评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生正确建立了切线方程和法线方程，并正确求出与坐标轴的交点：切线在y轴截距为 \(Y_P = y - xy'\)，法线在x轴截距为 \(X_P = x + yy'\)。然后根据条件 \(X_P = Y_P\) 得到方程 \(y - xy' = x + yy'\)，整理得 \(y' = \frac{y-x}{y+x}\)。这一步完全正确，得3分。

（2）得分及理由（满分11分）

学生正确进行变量代换 \(p = \frac{y}{x}\)，得到 \(y' = p + xp'\)，代入微分方程得到 \(p + xp' = \frac{p-1}{p+1}\)，整理得 \(xp' = \frac{-1-p^2}{p+1}\)。这一步正确，得2分。

（3）得分及理由（满分11分）

学生分离变量得到 \(-\frac{p+1}{p^2+1}dp = \frac{1}{x}dx\)，这一步正确，得1分。但是积分时出现错误：正确积分应为 \(\int \frac{p+1}{p^2+1}dp = \int \frac{p}{p^2+1}dp + \int \frac{1}{p^2+1}dp = \frac{1}{2}\ln(p^2+1) + \arctan p\)，而学生写成了 \(-\frac{1}{2}\ln(p^2+1) - \arctan p\)，符号错误，扣2分。

（4）得分及理由（满分11分）

学生代入初值 \(y(1)=0\) 得到 \(C=0\)，这一步正确，得1分。但最终答案形式为 \(\frac{1}{2}\ln(\frac{y^2}{x^2}+1) + \arctan\frac{y}{x} = -\ln x\)，这与标准答案 \(\arctan\frac{y}{x} + \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2) = 0\) 在形式上有差异，但实际上是等价的，因为 \(\frac{1}{2}\ln(\frac{y^2}{x^2}+1) = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2) - \ln x\)，代入后可得标准答案。考虑到学生积分时符号错误但最终形式等价，这里不额外扣分。

（5）得分及理由（满分11分）

学生没有明确给出定义域 \(x \in (0, \frac{3}{2})\)，但题...