评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生答案：由于α₃=α₁+2α₂，则α₃可由α₁、α₂线性表示，故r(A)≤2；又由于A有3个不同的特征值，故r(A)≥2，则r(A)=2。

评分分析：

• 第一步正确：由α₃=α₁+2α₂得到列向量线性相关，从而r(A)≤2（得2分）
• 第二步有逻辑缺陷：仅由"A有3个不同的特征值"不能直接推出r(A)≥2。标准答案中需要说明A必有特征值0（因为|A|=0），且三个不同特征值中只有一个为0，另外两个非零，从而r(A)=2。
• 虽然结论正确，但推理过程不完整，缺少关键步骤。

扣分：逻辑不严谨，缺少关键推理步骤，扣2分。

得分：3分

（II）得分及理由（满分6分）

学生答案：正确给出基础解系(1,2,-1)ᴸ和特解(1,1,1)ᴸ，通解形式正确。

评分分析：

• 基础解系正确：由α₁+2α₂-α₃=0得到(1,2,-1)ᴸ是Ax=0的解（得2分）
• 特解正确：由β=α₁+α₂+α₃得到(1,1,1)ᴸ是Ax=β的特解（得2分）
• 通解形式正确：k(1,2,-1)ᴸ+(1,1,1)ᴸ（得2分）

得分：6分

题目总分：3+6=9分