2017年考研数学（二）考试试题 - 第23题回答

评分及理由

（1）求a的值（满分3分）

学生正确写出二次型矩阵A，并利用标准型只有两个平方项说明r(A)=2，从而|A|=0，解得a=2。过程正确，得3分。

（2）求特征值（满分3分）

学生正确计算特征多项式|λE-A|，并得到特征值λ₁=-3，λ₂=6，λ₃=0。过程正确，得3分。

（3）求正交矩阵Q（满分5分）

学生正确求出：

• λ=-3对应的特征向量[1,-1,1]ᵀ
• λ=6对应的特征向量[1,0,-1]ᵀ（与标准答案[-1,0,1]ᵀ仅差一个符号，不影响结果）
• λ=0对应的特征向量[1,2,1]ᵀ（第二次识别正确）

但在构造正交矩阵时：

• 第一个向量单位化正确：\(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T\)
• 第二个向量单位化正确：\(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T\)（与标准答案仅差符号）
• 第三个向量单位化正确：\(\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T\)

但学生给出的正交矩阵列向量顺序与标准答案不同，且第二个特征向量的符号与标准答案相反。由于正交矩阵的列向量顺序和符号可以调整，这不影响正交变换的正确性，因此不扣分。得5分。

题目总分：3+3+5=11分

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