评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生通过分离变量法求解微分方程，过程正确。在分离变量时，第一步将方程变形为 \(x\frac{dy}{dx} = -6 + 6y\)，然后得到 \(\frac{1}{6(y-1)} dy = \frac{1}{x} dx\)，这一步是正确的。积分后得到 \(\frac{1}{6} \ln(y-1) = \ln x + C\)，代入初始条件 \(y(\sqrt{3}) = 10\) 后，计算得到 \(C = \frac{1}{6} \ln 3\)，最终解得 \(y = \frac{1}{3}x^6 + 1\)，与标准答案一致。虽然学生在第一次识别中写为 \(y = \frac{1}{3}x^6 + 1\)，而标准答案为 \(y = 1 + \frac{1}{3}x^6\)，但表达式等价，不扣分。因此，本部分得满分5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确设点 \(P\) 坐标为 \((x_0, \frac{1}{3}x_0^6 + 1)\)，并计算导数 \(y' = 2x^5\)，从而得到法线斜率为 \(-\frac{1}{2x_0^5}\)。法线方程推导正确，并令 \(X = 0\) 得到截距 \(I_p = \frac{1}{2x_0^4} + \frac{1}{3}x_0^6 + 1\)。学生令 \(f(x) = \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3}x^6 + 1\)，求导得到 \(f'(x) = -2x^{-5} + 2x^5\)，并令 \(f'(x) = 0\) 解得 \(x = 1\)，分析单调性后确定 \(x = 1\) 为最小值点，计算 \(f(1) = \frac{11}{6}\)，并得到 \(P\) 点坐标为 \((1, \frac{4}{3})\)，与标准答案一致。虽然学生在第一次识别中写截距为 \(IP\)，而标准答案为 \(I_p\)，但属于符号书写问题，不扣分。因此，本部分得满分6分。

题目总分：5+6=11分