评分及理由

（1）得分及理由（满分14分）

学生作答提供了两次识别结果，两次结果在核心计算步骤上基本一致，均采用了极坐标变换的方法，这是正确的思路。在极坐标变换中，正确地将曲线方程转换为 \( r^2 = \cos 2\theta \)，并确定了积分区域 \( \theta \) 从 0 到 \( \frac{\pi}{4} \)，\( r \) 从 0 到 \( \sqrt{\cos 2\theta} \)。在计算二重积分时，正确地将积分表达式写为 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta \int_{0}^{\sqrt{\cos 2\theta}} r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \)，并进行了积分计算。

然而，在第一次识别结果中，从 \( \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin 2\theta \cos^3 2\theta \, d\theta \) 到 \( -\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^3 2\theta \, d\cos 2\theta \) 这一步存在逻辑错误：正确的换元应为 \( d\cos 2\theta = -2\sin 2\theta \, d\theta \)，因此系数应为 \( -\frac{1}{16} \) 而不是 \( -\frac{1}{4} \)。这导致最终结果错误为 \( \frac{1}{12} \)，而标准答案为 \( \frac{1}{48} \)。第二次识别结果在换元步骤中正确使用了系数 \( -\frac{1}{16} \)，但最终计算时仍错误地得出 \( \frac{1}{12} \)，这可能是由于积分上下限处理错误或计算疏忽所致。具体地，在第二次识别中，从 \( -\frac{1}{16} \int_{1}^{0} t^2 \, dt \) 到 \( -\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} t^3 \big|_{1}^{0} \) 应得 \( -\frac{1}{48} (0 - 1) = \frac{1}{48} \)，但学生错误地写为 \( \frac{1}{12} \)，这表明存在计算错误。

考虑到学生整体思路正确...