评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是1。首先需要求解微分方程 \(y'' + 2y' + y = 0\)，其特征方程为 \(r^2 + 2r + 1 = 0\)，解得 \(r = -1\)（重根）。因此通解为 \(y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x}\)。代入初始条件 \(y(0) = 0\) 得 \(C_1 = 0\)，所以 \(y(x) = C_2 x e^{-x}\)。再代入 \(y'(0) = 1\)，计算 \(y'(x) = C_2 e^{-x} - C_2 x e^{-x}\)，代入 \(x=0\) 得 \(y'(0) = C_2 = 1\)，因此 \(y(x) = x e^{-x}\)。

计算积分 \(\int_0^{+\infty} y(x) dx = \int_0^{+\infty} x e^{-x} dx\)。该积分可用分部积分法：令 \(u = x, dv = e^{-x} dx\)，则 \(du = dx, v = -e^{-x}\)，积分结果为 \([-x e^{-x}]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-x} dx = 0 + [-e^{-x}]_0^{+\infty} = 1\)。

学生答案1与标准答案一致，且计算过程正确（虽然未展示过程，但填空题只要求最终答案）。因此得4分。

题目总分：4分