评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答存在以下问题：

• 第一次识别中，拉格朗日函数构造有误：应为 \(F(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 + \lambda(x^3 - xy + y^3 - 1)\)，但学生写成了 \(y^2\) 而不是 \(y^3\)，这是一个逻辑错误，扣1分。
• 第二次识别中，拉格朗日函数构造有误：约束条件写成了 \(x^3 - xy + y^3 + 1\)，而不是正确的 \(-1\)，这是一个逻辑错误，扣1分。
• 在求解方程组时，学生正确得到了 \((x - y)(x + y + 3xy) = 0\)，并正确排除了 \(x + y + 3xy = 0\) 的情况，得到唯一驻点 \((1,1)\)，此处正确。
• 学生试图用二阶偏导数判断极值，但拉格朗日乘数法下的条件极值不能直接通过二阶偏导数符号判断，这是一个逻辑错误，扣1分。
• 学生正确计算了 \((1,1)\) 点的距离 \(\sqrt{2}\)，并正确指出 \((0,1)\) 点的距离为 1（尽管未明确说明 \((1,0)\) 点，但隐含在对称性中），此处正确。
• 学生未比较端点 \((0,1)\) 和 \((1,0)\) 与驻点 \((1,1)\) 的距离值，但正确得出最长距离 \(\sqrt{2}\) 和最短距离 1，结论正确。

扣分总计：3分。得分：11 - 3 = 8分。

题目总分：8分