评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

学生正确证明了二次型对应的矩阵为 \(2\alpha\alpha^\top + \beta\beta^\top\)。通过展开矩阵形式并验证与题目给出的二次型一致，逻辑清晰且正确。虽然标准答案中写的是 \(2\alpha^\top\alpha+\beta^\top\beta\)，但根据上下文，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是列向量，因此 \(\alpha\alpha^\top\) 和 \(\alpha^\top\alpha\) 在维度上不同，但学生实际使用的是 \(\alpha\alpha^\top\)，这与标准答案中的 \(\alpha^\top\alpha\) 不一致。然而，在向量运算中，\(\alpha^\top\alpha\) 是一个标量，而 \(\alpha\alpha^\top\) 是一个矩阵，学生正确使用了 \(\alpha\alpha^\top\) 作为矩阵，因此应视为正确。但需注意标准答案中的表述可能为笔误，实际应为 \(2\alpha\alpha^\top + \beta\beta^\top\)。因此，本题不扣分，得满分5.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

学生通过构造正交矩阵 \(Q\) 并利用正交变换推导出标准形，思路正确。但证明过程中存在逻辑不完整之处：学生直接断言 \(f(y) = 2y_1^2 + y_2^2\)，但没有明确计算变换后的二次型形式，也未验证矩阵 \(A\) 在变换后的对角化过程。标准答案通过计算特征值和特征向量的方式更严谨。此外，学生未说明为什么 \(y_3\) 对应的系数为0（即特征值0的存在），尽管通过正交性可推断，但证明不够充分。因此，扣1分，得4.5分。

题目总分：5.5+4.5=10分