评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

该题要求学生计算极限 \(\lim\limits_{n \to \infty}n^{2}\ln(1 + a_{2n})\)，其中 \(a_{2n}\) 是函数 \(f(x) = \sin x\) 在区间 \([0,\pi]\) 上展开为余弦级数的傅里叶系数。

标准答案的解题思路是：首先计算傅里叶系数 \(a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos(nx) dx\)，通过积分公式得到 \(a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1 + (-1)^{n+1}}{1 - n^2}\)。代入 \(n = 2n\) 得 \(a_{2n} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{1 - 4n^2}\)。然后利用泰勒展开 \(\ln(1 + x) \sim x\) 当 \(x \to 0\)，得到 \(n^2 \ln(1 + a_{2n}) \sim n^2 \cdot a_{2n} = n^2 \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{1 - 4n^2} \to -\frac{1}{2\pi}\)。最终极限值为 \(-\frac{1}{2\pi}\)。

学生作答为“-1/2pai”，即 \(-\frac{1}{2\pi}\)。这与标准答案的计算结果完全一致，表明学生正确计算了傅里叶系数并运用了极限方法。

因此，该答案正确，得5分。

题目总分：5分