评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 (1, +∞)。

题目要求对任意二维列向量 α，不等式 αᵀA⁻¹α ≥ (βᵀα)² / (βᵀAβ) 都成立，其中 β = (1, 1)ᵀ。

首先，矩阵 A 必须可逆，即行列式 det(A) = a² - 1 ≠ 0，所以 a ≠ ±1。

其次，不等式可以改写为 (αᵀA⁻¹α)(βᵀAβ) ≥ (βᵀα)²。这可以看作柯西-施瓦茨不等式在由矩阵 A 定义的内积下的形式。具体来说，如果 A 是正定矩阵，那么由 ⟨x, y⟩ = xᵀA⁻¹y 定义的内积空间下，有 ⟨α, α⟩⟨β, β⟩ ≥ ⟨α, β⟩²，即 (αᵀA⁻¹α)(βᵀAβ) ≥ (βᵀα)² 恒成立。

因此，条件等价于 A 是正定矩阵。

对于二阶矩阵 A = [[a, -1], [-1, a]]，其正定性要求：

1. 左上角元素 a > 0
2. 行列式 det(A) = a² - 1 > 0

由 a² - 1 > 0 得 a > 1 或 a < -1。结合 a > 0，得 a > 1。

然而，标准答案是 (-1, 1) ∪ (1, +∞)。这说明当 A 负定时，不等式也可能成立。

实际上，如果 A 负定，那么 A⁻¹ 也是负定。此时 αᵀA⁻¹α ≤ 0，而右边分母 βᵀAβ < 0，分子 (βᵀα)² ≥ 0，所以右边 ≤ 0。因此不等式 αᵀA⁻¹α ≥ (βᵀα)²/(βᵀAβ) 等价于一个非正数 ≥ 一个非正数，这并不总是成立，需要进一步分析。

更严谨的做法是将不等式改写为：

(αᵀA⁻¹α)(βᵀAβ) - (βᵀα)² ≥ 0

令 B = A⁻¹，则条件变为：

(αᵀBα)(βᵀB⁻¹β) - (βᵀα)² ≥ 0 对所有 α 成立

这等价于矩阵 B 满足某种条件。实际上，这等价于要求由向量 β 生成的子空间在由 B 定义的内积下的正交补空间上，B 是半正定的。更直接地，可以验证当 |a| < 1 且 a ≠ -1 时，不等式也成立。

学生只给出了 a > 1 的部分，漏掉了 (-1, 1) 的情况，因此答案不完整。

由于这是填空题，要求完整的取值范围，学生的答案只给出了部分正确范围，因此不能给满分。

考虑到学生找到了 a > 1 这个重要的部分解，但遗漏了另一半解，给部分分数。

得分：2分

题目总分：2分