评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答与标准答案思路基本一致，采用了分部积分法和变量代换的方法求解。具体分析如下：

• 学生第一步使用了分部积分法，正确地将原积分转化为 \(\frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x} \cdot 2\sqrt{e^{x}-1}} dx\)，这与标准答案的第一步等价，只是形式略有不同。
• 在化简过程中，学生得到了 \(\frac{1}{2}e^{2x}\arctan\sqrt{e^{x}-1} - \frac{1}{4}\int e^{2x} \frac{1}{\sqrt{e^{x}-1}} dx\)，这一步正确。
• 学生正确进行了变量代换 \(t = \sqrt{e^{x}-1}\)，并正确计算了 \(dx = \frac{2t}{t^{2}+1} dt\)。
• 在代换后的积分计算中，学生得到 \(\int \frac{(t^{2}+1)^{2}}{t} \cdot \frac{2t}{t^{2}+1} dt = \int 2(t^{2}+1) dt\)，但学生写成了 \(\frac{1}{4}\int 2(t^{2}+1) dt\)，实际上应该是 \(\frac{1}{4} \times 2 \int (t^{2}+1) dt = \frac{1}{2} \int (t^{2}+1) dt\)，但学生最终积分结果为 \(-\frac{t^{3}}{6} - \frac{t}{2}\)，这正好是 \(-\frac{1}{2} \left( \frac{t^{3}}{3} + t \right)\)，与标准答案的 \(-\frac{1}{3}(e^{x}-1)^{3/2} - \sqrt{e^{x}-1}\) 相差一个系数。标准答案中该部分为 \(-\frac{1}{3}(e^{x}-1)^{3/2} - \sqrt{e^{x}-1}\)，而学生得到的是 \(-\frac{1}{6}(e^{x}-1)^{3/2} - \frac{1}{2}\sqrt{e^{x}-1}\)，正好是标准答案的一半。这是因为学生在分部积分后的系数处理有误，标准答案为 \(\frac{1}{2}\left(e...