评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答在逻辑上存在关键错误。学生通过定义 \( g(x) = x - \ln^2 x + 2k \ln x - 1 \) 和 \( h(x) = x - 2\ln x + 2k \)，正确计算了导数并分析了 \( h(x) \) 的单调性，得出 \( h(x) \geq h(2) \geq 0 \)，从而 \( g'(x) \geq 0 \)，\( g(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增，且 \( g(1) = 0 \)。然后定义 \( F(x) = (x-1)g(x) \)，并试图通过 \( x \in (0,1) \) 时 \( x-1<0 \)、\( g(x)<0 \) 推出 \( F(x)>0 \)，以及 \( x \in (1, +\infty) \) 时 \( x-1>0 \)、\( g(x)>0 \) 推出 \( F(x)>0 \)，从而得到 \( F(x) \geq 0 \)。

然而，在 \( x \in (0,1) \) 时，由于 \( g(x) \) 单调递增且 \( g(1)=0 \)，实际上 \( g(x) < 0 \) 成立，因此 \( (x-1) < 0 \) 和 \( g(x) < 0 \) 相乘应得 \( F(x) > 0 \)，这与学生结论一致。但在 \( x \in (1, +\infty) \) 时，\( g(x) > 0 \) 也成立，因此 \( F(x) > 0 \)。学生正确得出 \( F(1)=0 \)，因此整体上 \( F(x) \geq 0 \) 成立。

但标准答案分区间 \( (0,1) \) 和 \( [1, +\infty) \) 讨论，并分别证明了所需的不等式。学生的方法虽然整体正确，但在 \( x \in (0,1) \) 部分，标准答案需要证明 \( x - \ln^2 x + 2k \ln x - 1 \leq 0 \)，而学生直接得出 \( F(x) > 0 \)，这实际上等价于原不等式，但学生没有明确写出区间内需证的不等式形式，而是通过 \( F(x) \) 的符号直接得出结论。这种方法在逻辑上是可行的，但学生没有区分区间讨论的必要性，而是统一处理。

关键错误在于：学生声称 \( g'(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上恒大于 0，但根据 \( h(x) \geq 0 \) 只能得出 \( g'(x) \geq 0 \)，并非恒大于 0（例如在 \( x=...