2025年张宇终极预测8套卷（四） - 第15题回答

首先，我需要理解题目和学生的答案。题目是线性代数中的填空题，涉及矩阵的行列式计算。已知条件包括： - A 和 B 是 4 阶矩阵。 - r(AA^T) = 3，这意味着 A 的秩是 3，因为 r(AA^T) = r(A)。 - |AB| 是一个 4x4 行列式，具体值为： \[ \begin{vmatrix} 2 & a & 0 & -a \\ -a & 2 & -5 & b \\ b & 0 & b & -2 \\ 0 & -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} \] - 另一个 3x3 行列式： \[ \begin{vmatrix} 2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} = 5 \] - 需要求： \[ \begin{vmatrix} -a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2 \end{vmatrix} \] 的值。 学生给出的答案是 -10。 标准答案是 10。 现在，我需要检查学生的计算过程是否正确。但学生只给出了最终答案，没有步骤。因此，我必须基于线性代数知识来推断。 首先，从 r(AA^T) = 3 可知 A 的秩为 3，因此 |A| = 0（因为如果 |A| ≠ 0，则 A 满秩，但这里秩为 3 < 4，所以行列式为 0）。同样，|B| 可能不为零，但 |AB| = |A| |B| = 0 * |B| = 0。但题目中给出了 |AB| 的行列式表达式，这似乎矛盾？不，|AB| 是行列式值，但这里它写成了一个矩阵的行列式，可能 |AB| 表示矩阵 AB 的行列式，但表达式是具体的数字矩阵？仔细看，题目是： "|AB| = \begin{vmatrix} 2&a&0&-a\\ -a&2&-5&b\\ b&0&b&-2\\ 0&-2&4&0\end{vmatrix}" 这有点令人困惑。通常 |AB| 表示矩阵 AB 的行列式，但这里它被设置为等于一个具体的行列式表达式。可能 |AB| 是矩阵 AB 的行列式，但右边是 AB 矩阵的行列式展开？或者可能 AB 是这个矩阵？但题目说 "已知 A,B 均为 4 阶矩阵"，所以 AB 是 4x4 矩阵，而右边是一个 4x4 行列式，所以可能 |AB| 就是这个行列式的值。 但根据 r(A)=3，|A|=0，所以 |AB|=|A||B|=0，因此这个行列式应该为 0。但题目没有说它等于 0，而是给了一个表达式。所以可能这个行列式表达式就是 |AB| 的值，但根据秩，它应该为 0，所以这个行列式必须为 0。这可能是关键点。 所以，首先，从 r(A)=3，有 |A|=0，所以 |AB|=0。因此，给定的 4x4 行列式等于 0： \[ \begin{vmatrix} 2 & a & 0 & -a \\ -a & 2 & -5 & b \\ b & 0 & b & -2 \\ 0 & -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \] 另外，已知： \[ \begin{vmatrix} 2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} = 5 \] 需要求： \[ \begin{vmatrix} -a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2 \end{vmatrix} \] 现在，学生答案 -10，标准答案 10。 我需要验证学生的答案是否正确。 首先，计算 4x4 行列式等于 0。可能通过展开或利用已知的 3x3 行列式。 注意，需要求的 3x3 行列式与已知的 3x3 行列式有相似之处。 已知的 3x3 是： \[ D_1 = \begin{vmatrix} 2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} = 5 \] 需要求的 3x3 是： \[ D_2 = \begin{vmatrix} -a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2 \end{vmatrix} \] 比较两者，可能通过行变换或列变换关联。 另外，4x4 行列式为 0，可能提供 a 和 b 的关系。 让我尝试计算 4x4 行列式。 设 M = \[ \begin{pmatrix} 2 & a & 0 & -a \\ -a & 2 & -5 & b \\ b & 0 & b & -2 \\ 0 & -2 & 4 & 0 \end{pmatrix} \] 计算 det(M) = 0。 展开 det(M)。例如，按第一行展开： det(M) = 2 * C11 + a * C12 + 0 * C13 + (-a) * C14 其中 Cij 是余子式。 C11 = (-1)^{1+1} det( Minor11 ) = det \[ \begin{pmatrix} 2 & -5 & b \\ 0 & b & -2 \\ -2 & 4 & 0 \end{pmatrix} \] 类似地，C12 = (-1)^{1+2} det( Minor12 ) = - det \[ \begin{pmatrix} -a & -5 & b \\ b & b & -2 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \] C14 = (-1)^{1+4} det( Minor14 ) = - det \[ \begin{pmatrix} -a & 2 & -5 \\ b & 0 & b \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix} \] 由于 det(M)=0，所以 2*C11 + a*C12 - a*C14 = 0。 现在，C11, C12, C14 涉及 3x3 行列式。 注意，已知的 D1 是 \[ \begin{vmatrix} 2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} \] 而需要求的 D2 是 \[ \begin{vmatrix} -a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2 \end{vmatrix} \] 比较 D1 和 D2，可能通过行交换或列交换。 考虑 D2 的行列式。如果我对 D2 进行行变换或列变换，可能得到 D1 或类似。 另一个想法：或许 4x4 行列式包含这些 3x3 行列式作为子式。 从 det(M)=0，我们有一个关系。 让我计算 C11, C12, C14。 首先，C11 = det \[ \begin{pmatrix} 2 & -5 & b \\ 0 & b & -2 \\ -2 & 4 & 0 \end{pmatrix} \] 计算这个行列式：按第一行展开： 2 * det( \begin{pmatrix} b & -2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} ) - (-5) * det( \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} ) + b * det( \begin{pmatrix} 0 & b \\ -2 & 4 \end{pmatrix} ) = 2 * (b*0 - (-2)*4) +5 * (0*0 - (-2)*(-2)) + b * (0*4 - b*(-2)) = 2 * (0 +8) +5 * (0 -4) + b * (0 +2b) = 16 -20 + 2b^2 = 2b^2 -4 所以 C11 = 2b^2 -4 现在 C12 = - det \[ \begin{pmatrix} -a & -5 & b \\ b & b & -2 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix} \] 计算这个行列式：按第三行展开： 0 * ... + 4 * det( \begin{pmatrix} -a & b \\ b & -2 \end{pmatrix} ) + 0 * ... = 4 * ( (-a)*(-2) - b*b ) = 4 * (2a - b^2) = 8a - 4b^2 所以 det = 8a - 4b^2 因此 C12 = - (8a - 4b^2) = -8a + 4b^2 现在 C14 = - det \[ \begin{pmatrix} -a & 2 & -5 \\ b & 0 & b \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix} \] 计算这个行列式：按第一行展开： (-a) * det( \begin{pmatrix} 0 & b \\ -2 & 4 \end{pmatrix} ) - 2 * det( \begin{pmatrix} b & b \\ 0 & 4 \end{pmatrix} ) + (-5) * det( \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} ) = (-a) * (0*4 - b*(-2)) -2 * (b*4 - b*0) + (-5) * (b*(-2) - 0*0) = (-a) * (0 +2b) -2 * (4b -0) + (-5) * (-2b -0) = -2a b -8b +10b = -2a b +2b 所以 det = -2a b +2b 因此 C14 = - ( -2a b +2b ) = 2a b -2b 现在，det(M) = 2 * C11 + a * C12 + 0 * C13 + (-a) * C14 = 2*(2b^2-4) + a*(-8a+4b^2) -a*(2a b -2b) = 4b^2 -8 -8a^2 +4a b^2 -2a^2 b +2a b 由于 det(M)=0，所以： 4b^2 -8 -8a^2 +4a b^2 -2a^2 b +2a b = 0 简化： -8a^2 -2a^2 b +4a b^2 +2a b +4b^2 -8 =0 除以2： -4a^2 -a^2 b +2a b^2 +a b +2b^2 -4=0 这是一个关于 a 和 b 的方程。 现在，我们有 D1 = 5。 计算 D1 = \[ \begin{vmatrix} 2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} \] 按第三行展开： b * det( \begin{pmatrix} a & -a \\ 2 & b \end{pmatrix} ) + 0 * ... + (-2) * det( \begin{pmatrix} 2 & a \\ -a & 2 \end{pmatrix} ) = b * (a*b - (-a)*2) -2 * (2*2 - a*(-a)) = b * (a b +2a) -2 * (4 + a^2) = a b^2 +2a b -8 -2a^2 所以 D1 = a b^2 +2a b -2a^2 -8 =5 所以 a b^2 +2a b -2a^2 -8 =5 即 a b^2 +2a b -2a^2 =13 现在，我们需要 D2 = \[ \begin{vmatrix} -a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2 \end{vmatrix} \] 计算 D2： 按第二行展开： 2 * det( \begin{pmatrix} -5 & b \\ b & -2 \end{pmatrix} ) + 0 * ... + (-a) * det( \begin{pmatrix} -a & -5 \\ b & b \end{pmatrix} ) = 2 * ( (-5)*(-2) - b*b ) -a * ( (-a)*b - (-5)*b ) = 2 * (10 - b^2) -a * ( -a b +5b ) = 20 -2b^2 -a * ( -a b +5b ) = 20 -2b^2 + a^2 b -5a b 所以 D2 = a^2 b -5a b -2b^2 +20 现在，从 D1 方程： a b^2 +2a b -2a^2 =13 从 det(M)=0 方程： -4a^2 -a^2 b +2a b^2 +a b +2b^2 -4=0 我们需要找到 D2。 或许我们可以用 D1 来表示 D2。 注意 D2 表达式中有 a^2 b -5a b -2b^2 +20 从 D1: a b^2 +2a b -2a^2 =13 从 det(M)=0: -4a^2 -a^2 b +2a b^2 +a b +2b^2 -4=0 让我将 det(M)=0 方程乘以什么或组合。 设 E1: a b^2 +2a b -2a^2 =13 E2: -4a^2 -a^2 b +2a b^2 +a b +2b^2 -4=0 D2 = a^2 b -5a b -2b^2 +20 现在，E2 有 -a^2 b，而 D2 有 a^2 b，所以或许 E2 + D2 可以消去 a^2 b。 计算 E2 + D2: (-4a^2 -a^2 b +2a b^2 +a b +2b^2 -4) + (a^2 b -5a b -2b^2 +20) = -4a^2 +2a b^2 +a b -5a b +2b^2 -2b^2 -4+20 简化: -4a^2 +2a b^2 -4a b +0 +16 = -4a^2 +2a b^2 -4a b +16 从 E1, a b^2 +2a b -2a^2 =13 注意 E1 有 a b^2 和 a b，而上面有 2a b^2 -4a b。 所以从 E1, 乘以 2: 2a b^2 +4a b -4a^2 =26 但上面有 2a b^2 -4a b -4a^2 +16 所以 (2a b^2 -4a b -4a^2 +16) = (2a b^2 +4a b -4a^2) -8a b +16 = 26 -8a b +16 = 42 -8a b 但这是 E2 + D2，而 E2 + D2 = -4a^2 +2a b^2 -4a b +16 从 E1*2: 2a b^2 +4a b -4a^2 =26 所以 E2 + D2 = (2a b^2 +4a b -4a^2) -8a b +16 = 26 -8a b +16 = 42 -8a b 但 E2 + D2 应该等于什么？ E2 + D2 是表达式，但 E2=0，所以 E2 + D2 = D2。 E2=0，所以从 E2 + D2 = D2。 所以 D2 = 42 -8a b 但我们需要找到 a b。 从 E1: a b^2 +2a b -2a^2 =13 这有 a b^2 和 a^2，不容易直接得到 a b。 或许从其他方式。 另一个想法：或许需要求的 D2 与已知的 D1 有直接关系通过行变换。 看 D1: \[ \begin{vmatrix} 2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} \] D2: \[ \begin{vmatrix} -a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2 \end{vmatrix} \] 比较 D1 和 D2，如果我对 D1 进行一些行交换或列交换。 例如，交换 D1 的行和列。 注意 D2 的第一行是 (-a, -5, b)，而 D1 的第一行是 (2, a, -a) D2 的第二行是 (2,0,-a)，第三行是 (b,b,-2) D1 的第二行是 (-a,2,b)，第三行是 (b,0,-2) 所以，或许 D2 是 D1 经过行交换和列交换后的行列式。 尝试交换 D1 的行和列。 首先，交换 D1 的第一行和第二行：行列式变号。 新行列式: \[ \begin{vmatrix} -a & 2 & b \\ 2 & a & -a \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} \] 这不像 D2。 交换列：例如，交换第一列和第二列： \[ \begin{vmatrix} a & 2 & -a \\ 2 & -a & b \\ 0 & b & -2 \end{vmatrix} \] 还是不对。 或许从 4x4 行列式入手。 注意在 4x4 矩阵 M 中，有些子式与 D1 和 D2 相关。 例如，D1 是 M 的一个子式？看 M 的行列式，当展开时，C14 涉及 \[ \begin{vmatrix} -a & 2 & -5 \\ b & 0 & b \\ 0 & -2 & 4 \end{vmatrix} \] 但 D1 是 \[ \begin{vmatrix} 2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} \] 不同。 另一个想法：或许需要求的 D2 是 4x4 行列式的另一个余子式。 从 det(M)=0，我们有 2*C11 + a*C12 -a*C14=0。 C11, C12, C14 我们已经计算了。 但 C11, C12, C14 是余子式，不是行列式值。 或许我们需要找到 a 和 b 的值。 从 D1=5: a b^2 +2a b -2a^2 =13 从 det(M)=0: -4a^2 -a^2 b +2a b^2 +a b +2b^2 -4=0 这是一个系统方程。 或许从 D2 的表达式中，我们可以找到。 注意到在 D2 的计算中，我们有 D2 = a^2 b -5a b -2b^2 +20 从 E1: a b^2 +2a b -2a^2 =13 从 E2: -4a^2 -a^2 b +2a b^2 +a b +2b^2 -4=0 将 E2 乘以 1， E1 乘以 2，等等。 设 X = a b, Y = a^2, Z = b^2,但有关联。 从 E1: a b^2 +2a b -2a^2 =13 即 a b * b +2 a b -2 a^2 =13 令 t = a b,则 a b^2 = t b,但 b 未知。 不理想。 从 E2: -4a^2 -a^2 b +2a b^2 +a b +2b^2 -4=0 即 -4a^2 -a (a b) +2a b^2 +a b +2b^2 -4=0 同样有 a b^2。 从 E1: a b^2 = 13 -2a b +2a^2 代入 E2。 E2: -4a^2 -a^2 b +2(13 -2a b +2a^2) +a b +2b^2 -4=0 简化: -4a^2 -a^2 b +26 -4a b +4a^2 +a b +2b^2 -4=0 所以 (-4a^2+4a^2) + (-a^2 b) + (-4a b +a b) +2b^2 +26-4=0 即 -a^2 b -3a b +2b^2 +22=0 所以 a^2 b +3a b -2b^2 =22 现在 D2 = a^2 b -5a b -2b^2 +20 注意 a^2 b -2b^2 common in both. 从新方程: a^2 b +3a b -2b^2 =22 D2 = a^2 b -5a b -2b^2 +20 = (a^2 b +3a b -2b^2) -8a b +20 = 22 -8a b +20 = 42 -8a b 所以 D2 = 42 -8a b 现在需要 a b。 从 E1: a b^2 +2a b -2a^2 =13 从新方程: a^2 b +3a b -2b^2 =22 这两个方程有 a b, a^2, b^2. 令 u = a b, v = a^2, w = b^2,但 a b^2 = u b, a^2 b = u a, not helpful. 从新方程: a^2 b +3a b -2b^2 =22 即 a (a b) +3a b -2b^2 = a u +3u -2w =22 从 E1: a b^2 +2a b -2a^2 = b u +2u -2v =13 所以我们有: b u +2u -2v =13 (1) a u +3u -2w =22 (2) 但 a u = a^2 b, not u a. 由于 u = a b, then a u = a^2 b, b u = a b^2, so yes. 但还有 v=a^2, w=b^2. 所以 from (1): b u +2u -2v =13 from (2): a u +3u -2w =22 但 a and b are related through u. 从 (1) and (2), we need another equation. 从 D1=5, we already used. 或许从 det(M)=0 we have only one equation, but we used it. 另一个点: r(A)=3, so |A|=0, but we already used that in det(M)=0. 或许我们需要利用 |AB|=0, which we did. 所以或许我们只能找到 D2 in terms of u, but we need numerical value. 或许从上下文，a and b are such that D2 is constant. 从 D2 = 42-8u, so if we find u, we get D2. 从 (1) and (2), we have two equations but three variables a,b,u, with u=a b. 或许从 (1) and (2) we can find u. 从 (1): b u +2u -2a^2 =13 从 (2): a u +3u -2b^2 =22 但 a^2 and b^2 are related to u? not directly. 或许 subtract or add. 注意 that from (1) and (2), if we multiply (1) by a and (2) by b, but then introduced new terms. 从 (1): u b +2u -2a^2 =13 从 (2): u a +3u -2b^2 =22 相加: u(a+b) +5u -2(a^2+b^2) =35 即 u(a+b) -2(a^2+b^2) =35-5u=30-5u? 35-5u=30-5u+5? No, 35-5u. 但 a^2+b^2 >=2|ab|, so not helpful. 或许从已知的行列式值，我们可以直接计算 D2 from D1 by row operations. 看 D1 and D2. D1 = \[ \begin{vmatrix} 2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2 \end{vmatrix} \] D2 = \[ \begin{vmatrix} -a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2 \end{vmatrix} \] 如果我对 D1 进行行交换和列交换，能否得到 D2？ 尝试交换 D1 的第一行和第二行，然后第一列和第二列，等等。 另一个想法：或许 D2 是 D1 的一个版本，其中第二行和第三行被修改。 注意在 D2 中，第二行是 (2,0,-a)，而 D1 的第二行是 (-a,2,b) ...

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