2025年张宇终极预测8套卷（四） - 第20题回答
1)由题，P=df/dx=e^xcosy+yz;Q=df/dy=xz-e^xsiny;R=df/dz=axy+z;
f(x,y,z)∫Pdx=cosyex+yzx+φ(y)+ψ(z);
df/dz=xy+dψ(z)/dz=axy+z;
故 a=1;
2)由1）可知φ(y)=C1，ψ(z)=1/2(z^2)+C2
f的通解为cosyex+yzx+C1+ψ(z)+C2;，由f(1,0,1)=e;
f(x,y,z)=cosyex+yzx+1/2(z^2)-1/2
评分及理由
（1）得分及理由（满分6分）
学生通过积分法求解，设P=∂f/∂x，然后对x积分得到f的表达式，再通过∂f/∂z的条件得到a=1。思路正确，但存在以下问题：
1. 积分表达式书写不规范："∫Pdx=cosyex+yzx+φ(y)+ψ(z)"中，e^x应明确写成e^x，且积分结果应为e^xcosy+xyz+φ(y)+ψ(z)
2. 推导过程不够严谨，直接从df/dz=xy+dψ(z)/dz=axy+z得到a=1，缺少必要的说明
3. 没有使用更直接的旋度为零的方法
扣2分，得4分
（2）得分及理由（满分6分）
学生继续使用积分法求解f(x,y,z)，但存在以下问题：
1. 推导过程过于简略，缺少对∂f/∂y条件的验证
2. 最终表达式"cosyex+yzx+1/2(z^2)-1/2"书写不规范，应为e^xcosy+xyz+½z²-½
3. 没有明确说明常数确定的完整过程
扣2分，得4分
题目总分：4+4=8分
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