评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一部分求解f(x)的过程基本正确。首先通过变量代换将第二个积分转化为x∫₀ˣf(u)du - ∫₀ˣuf(u)du，然后得到方程∫₀ˣf(t)dt + x∫₀ˣf(u)du - ∫₀ˣuf(u)du = ax²。接着对x求导得到f(x) + ∫₀ˣf(u)du = 2ax，再求导得到f'(x) + f(x) = 2a，并正确解出f(x) = 2a + ce⁻ˣ。

但是存在两个问题：一是未利用初始条件确定常数c，标准答案中通过x=0时f(0)=0得到c=-2a；二是在求导过程中存在一处错误，从第二行到第三行的推导不正确，应该是直接对原方程求导，而不是写出那样的表达式。

扣分：逻辑错误扣2分，未确定常数c扣1分。

得分：5-3=2分

（2）得分及理由（满分5分）

第二部分利用平均值条件建立方程正确：∫₀¹f(x)dx = 1，代入f(x) = 2a + ce⁻ˣ得到2a + c(1-e⁻¹) = 1。

但后续出现了严重的逻辑错误：学生试图"代入方程"建立另一个关系式，但所用的表达式∫₀¹f(t)dt - ∫₀¹(2at+cte⁻ᵗ)dt = a没有理论依据，且推导过程混乱，最终得到错误结果a = e/(1+e)。

标准答案中应该利用f(x)的表达式直接积分计算，得到2a + 2a(e⁻¹-1) = 1，从而解出a = e/2。

扣分：逻辑错误导致最终结果错误，扣4分。

得分：5-4=1分

题目总分：2+1=3分