评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答的整体思路与标准答案不同，但通过构造函数 \(F(x) = \ln x \cdot (\ln x - 2k) - x + 1\) 并分析其单调性来证明原不等式，思路正确。然而，在推导过程中存在逻辑错误：

• 学生将原不等式变形为 \(\ln x \cdot (\ln x - 2k) \leq x - 1\)（当 \(x > 1\)）和 \(\ln x \cdot (\ln x - 2k) \geq x - 1\)（当 \(0 < x < 1\)），这一变形是正确的。
• 但在求导 \(F'(x)\) 时，学生得到 \(F'(x) = \frac{2\ln x - x - 2k}{x}\)，并令 \(G(x) = 2\ln x - x - 2k\)。这里 \(G(x)\) 的表达式与标准答案中的 \(g(x) = x - 2\ln x + 2k\) 不同，但学生的方法在逻辑上可行。
• 关键错误在于：学生分析 \(G(x)\) 的单调性时，正确得出 \(G(x)\) 在 \((0,2)\) 递增、\((2,+\infty)\) 递减，最大值在 \(x=2\) 处，但计算 \(G(2) = 2\ln 2 - 2 - 2k\) 后，直接由 \(G(2) \leq 0\) 推出 \(F'(x) \leq 0\)。这忽略了 \(G(x)\) 的定义域和 \(F'(x)\) 的符号关系：实际上，\(F'(x) = \frac{G(x)}{x}\)，且 \(x > 0\)，因此 \(F'(x)\) 的符号取决于 \(G(x)\)。学生未证明 \(G(x) \leq 0\) 对所有 \(x > 0\) 成立，仅由最大值 \(G(2) \leq 0\) 不足以推出 \(G(x) \leq 0\)（因为 \(G(x)\) 在 \(x \to 0^+\) 时趋于 \(-\infty\)，但需验证整个定义域）。此外，在 \(0 < x < 1\) 部分，学生未详细分析 \(F(x)\) 的单调性，仅以“同理可得”带过，缺乏严谨性。
• 由于这些逻辑错误，证明不完整。但考虑到核心思路正确（构造函数和导数分析），且部分步骤（如单调性分析）正确，给予部分分数。

得分：6分（满分10分）。扣分原因：逻辑错误（未全面证明 \(G(x) \leq 0\) 且未严格处理 \(0 < x < 1\) 情况）导致证明不严谨。

题目总分：6分