评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生首先尝试用二重积分表示面积S，但积分上下限存在错误：内层积分上限应为直线AP的方程，但学生写成了 \(\frac{x}{x_p} \cdot x + 1\)，这显然是错误的（应为 \(\frac{y_p - 1}{x_p} x + 1\) 或类似形式）。不过，在后续计算中，学生实际上得到了正确的S表达式 \(S = \frac{2}{27}x_p^3 + \frac{1}{2}x_p\)，这与标准答案一致。因此，尽管积分设置错误，但最终S表达式正确，不扣分。

在求导部分，学生正确应用了链式法则 \(\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dx_p} \cdot \frac{dx_p}{dt}\)，并正确计算了导数 \(\frac{dS}{dx_p} = \frac{2}{9}x_p^2 + \frac{1}{2}\)。但在代入 \(x_p = 4\) 时，学生错误地将点的坐标取为 (4,?) 而不是题目给定的 (3,4)，导致 \(x_p\) 取值错误。这是一个关键逻辑错误，因为题目明确说明P运动到点(3,4)时，\(x=3\)，而学生用了 \(x_p=4\)。因此，计算过程和结果均错误。

扣分：由于在关键步骤（代入x值）出现逻辑错误，导致最终答案错误，扣4分。本部分得分6分。

题目总分：6分