评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生答案中，首先通过数学归纳法正确得出 \(f_n(x) = \frac{x}{1+nx}\)，这与标准答案一致。接着正确计算了积分 \(S_n = \int_0^1 \frac{x}{1+nx} dx\)，通过变形 \(\frac{x}{1+nx} = \frac{1}{n} \left(1 - \frac{1}{1+nx}\right)\) 并积分得到 \(S_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \ln(1+n)\)，过程完整且正确。最后计算极限 \(\lim_{n \to \infty} n S_n = 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+n)}{n}\)，并正确应用洛必达法则得出极限为1，结果与标准答案一致。整个解答逻辑清晰，步骤完整，无错误，因此得满分11分。

题目总分：11分