评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生计算 \(S_n\) 的表达式为 \(-\frac{1}{2}e^{-n\pi}\cos n\pi+\frac{1}{2}\)，这与标准答案 \(S_n=\frac{1}{2}+\frac{e^{-\pi}[1-e^{-(n-1)\pi}]}{1-e^{-\pi}}+\frac{1}{2}e^{-n\pi}\) 不一致。标准答案是通过对每个波峰波谷的曲边梯形面积求和得到的，而学生直接计算了定积分 \(\int_0^{n\pi} e^{-x}\sin x dx\)。虽然计算方法不同，但学生的计算过程在数学上是正确的（通过分部积分可得该结果），因此思路正确不扣分。但需要注意，这个表达式实际上给出的是代数和（有正负抵消），而不是曲线与x轴所围图形的总面积。由于题目要求的是"所围图形的面积"，应该取绝对值求和，但学生没有这样做，这是逻辑错误。考虑到面积计算需要分段处理，而学生直接使用积分结果，没有考虑函数正负区域，扣2分。得分：3分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生计算极限 \(\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{2}\)，这与标准答案 \(\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi}-1}\) 不一致。由于学生的 \(S_n\) 表达式本身就是错误的（没有正确表示面积），基于此计算的极限自然也是错误的。这是逻辑错误导致的错误结果，扣3分。得分：2分。

题目总分：3+2=5分