评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了相似矩阵的迹相等和行列式相等的性质建立方程组：tr(A) = -2 + x - 2 = x - 4，tr(B) = 2 - 1 + y = 1 + y，得到x - 4 = 1 + y；|A| = (-2)×x×(-2) - ... = 4x - 4，|B| = 2×(-1)×y = -2y，得到4x - 4 = -2y。解得x = 3, y = -2。计算过程正确，得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生思路正确：通过将A和B分别相似于同一个对角矩阵来构造P。但在具体计算中存在以下问题：

1. 特征值计算正确（2, -1, -2）
2. 求解特征向量时：
   • 对于λ=2：化简过程有误，第一次识别中写成了全零行，第二次识别中写成了[4,2,-1; 0,0,1; 0,0,0]，实际上应为[4,2,-1; 0,0,0; 0,0,0]，特征向量应为(1,-2,0)^T和(1,0,4)^T的线性组合
   • 对于λ=-1：化简过程有误，特征向量计算不正确
   • 对于λ=-2：化简过程有误，特征向量计算不正确
3. 矩阵C的构造不合理，C应该是将B对角化的矩阵，但学生给出的C不能使C⁻¹BC为对角矩阵
4. 最终得到的P = QC⁻¹计算有误，且验证P⁻¹AP = B不成立

题目总分：5+3=8分