2025年考研数学（一）考试试题 - 第13题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是1，与标准答案一致。

该题目要求计算函数\(u(x,y,z)=xy^{2}z^{3}\)在点\((1,1,1)\)处沿方向\(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\)的方向导数。方向导数的计算公式为：

\[ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} = \nabla u \cdot \frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|} \]

其中梯度\(\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)\)。

计算梯度：

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = y^2 z^3,\quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2xy z^3,\quad \frac{\partial u}{\partial z} = 3xy^2 z^2 \]

在点\((1,1,1)\)处：

\[ \nabla u(1,1,1) = (1, 2, 3) \]

方向向量\(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\)的模为：

\[ \|\boldsymbol{n}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3 \]

单位方向向量为：

\[ \frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|} = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) \]

方向导数为：

\[ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} = (1, 2, 3) \cdot \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

学生答案正确，得5分。

题目总分：5分

赞同