评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生使用变上限积分和拉格朗日中值定理来证明积分中值定理。这种方法在理论上是可行的，但存在一个关键问题：证明过程中假设了F(x)在[a,b]上可导且F'(x)=f(x)，这确实成立，但拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导。这里F(x)满足条件，证明逻辑正确。

然而，标准答案使用的是最值定理和介值定理的证明方法，这是积分中值定理的标准证明。学生的证明方法虽然正确，但不够直接，且没有明确说明η∈[a,b]（虽然推导中隐含了这一点）。考虑到证明方法正确但非标准，扣1分。

得分：4分

（2）得分及理由（满分5分）

学生的证明思路与标准答案完全一致：

• 正确应用积分中值定理得到存在ξ₁∈(2,3)使得∫₂³φ(x)dx=φ(ξ₁)
• 正确利用条件φ(2)>φ(1)和φ(2)>φ(ξ₁)
• 分别在[1,2]和[2,ξ₁]上应用拉格朗日中值定理得到φ'(ξ₂)>0和φ'(ξ₃)<0
• 最后在[ξ₂,ξ₃]上应用拉格朗日中值定理得到φ''(ξ)<0

证明过程完整，逻辑清晰，所有关键步骤都正确。虽然第一次识别中写的是"∫₂³φ(x)=φ(ξ₁)"缺少dx，但根据上下文判断为识别错误，不扣分。

得分：5分

题目总分：4+5=9分