评分及理由

（1）微分方程求解部分得分及理由（满分4分）

学生正确识别了微分方程类型并应用了一阶线性微分方程的通解公式。在第一次识别中，学生将方程写为 \(y' - \frac{4}{2x}y = \frac{2\ln x - 1}{2x}\)，这实际上是原方程的等价形式。在第二次识别中，学生详细展示了求解过程，包括积分因子的计算、积分运算和常数确定，最终得到正确特解 \(y = -\frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{4}x^{2}\)。虽然表达形式与标准答案略有不同（项的顺序），但数学上等价。因此该部分得满分4分。

（2）导数计算部分得分及理由（满分2分）

学生正确计算了导数 \(y' = -\frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x\)，这与标准答案 \(y' = \frac{x}{2} - \frac{1}{2x}\) 完全等价。计算过程正确，得满分2分。

（3）弧长计算部分得分及理由（满分6分）

学生正确应用了弧长公式 \(s = \int_{1}^{e} \sqrt{1 + y'^{2}} dx\)。在计算 \(1 + y'^{2}\) 时，学生得到的结果为 \(\left(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x\right)^{2}\)，这与标准答案中的 \(\frac{1}{4}\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}\) 等价。然而，在最后的积分计算中，学生得到的结果为 \(\frac{1}{2}e + \frac{1}{2e} - 1\)，这与标准答案 \(\frac{e^{2} + 1}{4}\) 不相等。通过数值验证，\(\frac{1}{2}e + \frac{1}{2e} - 1 \approx 0.543\)，而 \(\frac{e^{2} + 1}{4} \approx 2.097\)，明显不同。学生在积分计算步骤中出现错误：\(\frac{1}{2}\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx + \frac{1}{2}\int_{1}^{e}xdx = \frac{1}{2}\ln x\big|_{1}^{e} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}x^{2}\big|_{1}^{e} = \frac{1}{2}(1) ...