评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路与标准答案基本一致：先化简被积函数，利用对称性分解区域，再通过极坐标变换计算积分。最终答案正确为 \(2\pi - 2\)。

但存在以下问题：

• 在计算 \(\iint_D dxdy\) 时，学生错误地写为 \(4\pi - \int_0^{\pi/2} d\theta \int_{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}^2 r dr\)，实际上区域 \(D\) 的面积应为 \(\pi + 2\)（四分之一圆加三角形），学生错误地用了 \(4\pi\) 导致后续计算出现偏差，但后续步骤中通过错误抵消得到了正确结果。
• 在步骤4中，学生写 \(I = 3\pi - 2 - 2\int_0^{\pi/2} d\theta\)，其中 \(3\pi\) 是由前面错误面积计算推导而来，但最终积分 \(\int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}\) 计算后得到 \(2\pi - 2\)，与标准答案一致。

由于学生最终答案正确，且主要逻辑步骤正确，但中间有计算错误，根据评分规则，思路正确不扣分，但逻辑错误需扣分。此处面积计算错误属于逻辑错误，但最终结果正确，扣1分。

得分：11分

题目总分：11分