评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是"e^{1/2}"，这与标准答案"√e"是等价的，因为e^{1/2} = √e。

从解题思路来看，这是一个1^∞型极限问题，通常的解法是取对数后化为0/0型或∞/∞型，然后使用洛必达法则或等价无穷小替换。

正确解法应该是：

设y = [(1+e^x)/2]^{cot x}

ln y = cot x · ln[(1+e^x)/2]

当x→0时，cot x = cos x/sin x ∼ 1/x

ln[(1+e^x)/2] = ln[1 + (e^x-1)/2] ∼ (e^x-1)/2 ∼ x/2

所以ln y ∼ (1/x)·(x/2) = 1/2

因此极限值为e^{1/2} = √e

学生的答案虽然表达形式与标准答案不同，但数学上是等价的，且计算过程和结果都正确，因此应得满分。

题目总分：5分