评分及理由

（1）得分及理由（满分0分）

第(1)问主要考查求正交矩阵使二次型化为标准形。学生作答中：

• 正确写出矩阵A（第一次识别中A的(3,1)元素为-1是识别错误，第二次识别正确为1）
• 正确计算特征多项式并得到特征值λ₁=2，λ₂=λ₃=4
• 正确求出特征向量，但特征向量的对应关系有误：属于特征值2的特征向量应为[1,0,-1]ᵀ，属于特征值4的特征向量应为[1,0,1]ᵀ和[0,1,0]ᵀ
• 单位化过程正确
• 构造的正交矩阵Q正确
• 但标准形写为2y₁²+4y₂²+4y₃²，与特征值对应关系错误，应为4y₁²+4y₂²+2y₃²

由于特征向量与特征值的对应关系错误导致标准形错误，但正交矩阵构造正确，扣1分。

得分：4分（满分5分）

（2）得分及理由（满分0分）

第(2)问考查Rayleigh商的最小值。学生作答中：

• 正确利用正交变换x=Qy，得到f(x)/xᵀx = (2y₁²+4y₂²+4y₃²)/(y₁²+y₂²+y₃²)
• 虽然标准形系数顺序有误，但推理过程正确
• 正确得出最小值为2，并说明当y₂=y₃=0时达到最小值
• 逻辑推理完整

尽管标准形系数顺序有误，但最小值计算正确且推理合理，不扣分。

得分：5分（满分5分）

题目总分：4+5=9分