评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生使用了变量变换法求解联合概率密度，思路正确。变换的雅可比行列式计算正确，但最终表达式存在错误：

• 正确表达式应为 \( g(u,v) = \frac{1}{2\pi\sigma^2\sqrt{u-v^2}}e^{-\frac{u}{2\sigma^2}} \)（系数为 \( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \)），学生得到的是 \( \frac{1}{4\pi\sigma^2\sqrt{u-v^2}}e^{-\frac{u}{2\sigma^2}} \)（系数为 \( \frac{1}{4\pi\sigma^2} \)），缺少因子2。
• 定义域未明确写出（应注明 \( u>0, |v|<\sqrt{u} \)），但学生写了 \( u\geq0 \)，基本正确。
• 由于系数错误，扣2分。

得分：2分

（2）得分及理由（满分4分）

学生通过积分求边缘概率密度，思路正确：

• 积分表达式正确，但被积函数使用了错误的联合密度（系数为 \( \frac{1}{4\pi\sigma^2} \) 而非 \( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \)）。
• 然而，积分计算过程正确，最终结果 \( g_U(u) = \frac{e^{-\frac{u}{2\sigma^2}}}{2\sigma^2} \) 与标准答案一致。
• 由于使用了错误的联合密度但得到正确结果，可能是计算过程中的系数错误被积分抵消，但方法正确，不扣分。

得分：4分

（3）得分及理由（满分4分）

学生判断独立性：

• 求 \( g_V(v) \) 时，第一次识别结果指数部分有误（\( e^{-\frac{y^2}{4\sigma^2}} \)），但第二次识别结果正确（\( e^{-\frac{v^2}{2\sigma^2}} \)）。以正确识别为准。
• 正确指出 \( g(u,v) \neq g_V(v) \cdot g_U(u) \)，结论正确。
• 尽管使用的 \( g(u,v) \) 系数有误，但独立性判断逻辑正确，且结论与标准答案一致。

得分：4分

题目总分：2+4+4=10分