评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案分为两种情况：当 \(x \in (-1,0) \cup (0,1)\) 时，和函数为 \(\frac{1}{1+x^2}\)；当 \(x=0\) 时，和函数为 0。标准答案为 \(\frac{1}{(x+1)^2}\)，且该和函数在整个区间 \((-1,1)\) 内成立。

首先，学生答案中 \(\frac{1}{1+x^2}\) 与标准答案 \(\frac{1}{(x+1)^2}\) 在形式上完全不同，且 \(\frac{1}{1+x^2}\) 实际上是 \(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}\) 的和函数，与题目所给幂级数无关，属于逻辑错误。

其次，学生将 \(x=0\) 单独处理为 0，但原幂级数在 \(x=0\) 处为 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n \cdot 0^{n-1}\)，当 \(n=1\) 时项为 \(1 \cdot 0^0\)，通常约定 \(0^0=1\)，故第一项为 1，后续项为 0，因此和函数在 \(x=0\) 处应为 1，而非 0。学生此处处理错误。

综上，学生答案与标准答案完全不符，且存在多处逻辑错误，故得 0 分。

题目总分：0分