2017年考研数学（一）考试试题 - 第15题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确应用了复合函数求导法则，得到一阶导数表达式 \(\frac{dy}{dx} = e^x f_1' - \sin x f_2'\)，并在 \(x=0\) 时正确代入得到 \(\frac{dy}{dx}\vert_{x=0} = f_1'(1,1)\)。虽然第一次识别结果中出现了符号 \(t_1'\) 和 \(t_2'\)，但根据上下文可判断为 \(f_1'\) 和 \(f_2'\) 的误写，不影响核心逻辑。因此该部分答案完全正确，得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生在求二阶导数时，基本思路正确，应用了乘积法则和链式法则，但在具体计算过程中存在逻辑错误：

• 在第二次识别结果的推导中，对 \(-\sin x f_2'\) 求导时，错误地写成了 \(-\cos x f_2' - \sin x (f_{12}'' e^x + f_{22}'' (-\sin x))\)，这实际上重复计算了 \(f_{12}''\) 项（出现了两次 \(-\sin x e^x f_{12}''\)），且遗漏了 \(f_{21}''\) 项的对称性处理（但题目中函数具有二阶连续偏导数，故 \(f_{12}'' = f_{21}''\)，可合并）。
• 最终代入 \(x=0\) 后，学生得到 \(\frac{d^2y}{dx^2}\vert_{x=0} = f_1'(1,1) + f_{11}''(1,1) - f_2'(1,1)\)，与标准答案 \(f_{11}''(1,1) + f_1'(1,1) - f_2'(1,1)\) 在数值上一致，但推导过程存在冗余和错误步骤。

由于最终结果正确，且错误可能源于书写或识别问题（如第一次识别结果中也有类似冗余），但核心逻辑（应用求导法则并代入）正确，且结果与标准答案一致，因此扣1分（主要针对推导过程中的错误），得4分。

题目总分：5+4=9分

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