评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第1次识别结果和第2次识别结果在(1)部分思路基本一致：由极限条件推出在0+附近f(x)为负，结合f(1)>0，用零点定理得出存在f(ξ)=0。但第1次识别中写“lim f(x)<0”不够准确，因为极限可能是0或负无穷，但结合f(x)/x<0以及局部保号性，确实存在c使f(c)<0，所以结论正确。第2次识别同样结论正确。因此给满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

第1次识别中构造g(x)=f(x)+f'(x)是错误的，与题目方程f(x)f''(x)+[f'(x)]^2=0不符，因此逻辑错误，扣5分。第2次识别中构造g(x)=f(x)f'(x)正确，并且得出g(ξ)=0，然后试图找f'(η1)=f'(η2)=0从而g(η1)=g(η2)=0，再对g(x)用罗尔定理找两个点使g'(x)=0。但推导过程中存在多处逻辑错误：

• “lim_{x→ξ^-} f'(x)≤0”没有根据；
• “f(ξ)-f(0)=f'(ξ₂)ξ>0”没有根据，且f(0)未知；
• f'(ξ₁)>0和f'(ξ₂)>0的得出过程不严谨；
• 由f'(ξ₁)>0, f'(ξ₂)>0, f'(ξ₃)<0不能直接推出存在两个不同点使f'=0，因为可能ξ₁=ξ₂；
• 最后得出g'(a)=g'(b)=0时，没有说明a,b不同。

虽然构造正确，但后续推理多处错误，只能给1分（构造正确给1分）。

题目总分：5+1=6分