评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确设出四次多项式形式，利用极值条件得到导数零点，并正确解出参数关系。在利用面积条件时，第一次识别结果中面积计算正确，但解方程组时出现错误（将面积方程写为 \(\frac{C}{15}+E=\frac{32}{15}\) 应为 \(\frac{4C}{15}+2E=\frac{32}{15}\)），导致错误结果 \(C=-8, E=4\)。第二次识别结果中正确列出方程组并解得 \(C=-8, E=4\)，最终得到 \(f(x)=4x^4-8x^2+4\)，这与标准答案 \(f(x)=2(x^2-1)^2\) 等价（展开后相同）。因此思路完全正确，计算过程虽有瑕疵但最终结果正确。考虑到识别可能造成的书写误差，不扣分。得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确使用柱壳法公式 \(V=2\pi\int_0^1 xf(x)dx\)，代入自求的 \(f(x)\) 并展开积分。第一次识别结果中积分计算过程正确，但最后一步加法错误（\(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+2\) 误算为 \(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\)）。第二次识别结果中积分过程正确，得到 \(\frac{4\pi}{3}\)，这与标准答案 \(\frac{2\pi}{3}\) 不同。检查发现学生使用的 \(f(x)\) 正确，但标准答案中 \(f(x)=2(x^2-1)^2\) 在 \([0,1]\) 上积分时，柱壳法体积应为 \(\frac{2\pi}{3}\)，而学生计算结果为 \(\frac{4\pi}{3}\)，说明积分计算有误。实际计算：\(\int_0^1 x(4x^4-8x^2+4)dx = \int_0^1 (4x^5-8x^3+4x)dx = \left[\frac{2}{3}x^6-2x^4+2x^2\right]_0^1 = \frac{2}{3}-2+2=\frac{2}{3}\)，乘以 \(2\pi\) 得 \(\frac{4\pi}{3}\)，但标准答案为 \(\frac{2\pi}{3}\)，矛盾。核对标准答案：\(f(x)=2(x^2-1)^2=2x^4-4x^2+2\)，柱壳法体积为 \(2\pi\int_0^1 x(2x^4-4x^2+2)dx=2\pi\int_0^1 (2x...