评分及理由

（1）证明数列单调递减且有下界（满分5分）

学生正确应用了拉格朗日中值定理于函数 \(f(x) = e^x\)，得到 \(e^{x_n} - 1 = x_n e^{\delta}\) 其中 \(\delta \in (0, x_n)\)，并与给定递推关系 \(x_n e^{x_{n+1}} = e^{x_n} - 1\) 比较得出 \(e^{\delta} = e^{x_{n+1}}\)，从而得到 \(x_{n+1} = \delta < x_n\)，证明了数列严格单调递减。同时注意到 \(x_1 > 0\) 且所有 \(x_n > 0\)，说明数列有下界。这部分论证完整正确。

得分：5分

（2）证明数列收敛并求极限（满分5分）

学生正确指出单调有界数列必收敛，设极限为 \(a\)，在递推关系两边取极限得到 \(a e^a = e^a - 1\)。但在求解方程时直接得出 \(a = 0\)，没有说明为什么 \(a > 0\) 会导致矛盾。标准答案明确指出如果 \(a > 0\)，则由方程可得 \(e^a = \frac{e^a - 1}{a} < e^a\)，产生矛盾，从而必须 \(a = 0\)。学生缺少这一关键逻辑步骤。

扣分：2分（缺少矛盾论证的关键步骤）

得分：3分

题目总分：5+3=8分