评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确推导了 \(g(x)\) 的表达式，通过变量代换得到 \(g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(u) du\)（当 \(x \neq 0\)），并正确给出 \(g(0) = 0\)。但在第2次识别中，\(g(0) = \int_0^1 f(0) dt\) 的积分上限应为0（因为当 \(x=0\) 时，\(f(xt)=f(0)=0\)，积分区间长度为0），但最终结果正确，判断为识别误差，不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了 \(g'(x)\) 在 \(x \neq 0\) 时的表达式：\(g'(x) = \frac{f(x)}{x} - \frac{\int_0^x f(u) du}{x^2}\)，并通过导数定义计算 \(g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(u) du}{x^2}\)，使用洛必达法则得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \frac{1}{2}\)。过程完整正确。得5分。

（3）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了 \(\lim_{x \to 0} g'(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x} - \frac{\int_0^x f(u) du}{x^2} \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)，并得出 \(g'(0) = \lim_{x \to 0} g'(x)\)，从而证明 \(g'(x)\) 在 \(x=0\) 处连续。过程完整正确。得5分。

题目总分：5+5+5=15分