评分及理由

（1）得分及理由（满分0分）

第(I)问中，学生构造了正确的辅助函数 \(F(x)=f(x)+(x-2)e^{x^{2}}\)，并正确计算了端点值 \(F(1)=-e<0\) 和 \(F(2)=\int_{1}^{2}e^{t^{2}}dt>0\)。但学生在求导时出现逻辑错误：\(F'(x)=f'(x)+e^{x^{2}}+(x-2)\cdot 2xe^{x^{2}}=e^{x^{2}}+e^{x^{2}}+2x(x-2)e^{x^{2}}=2e^{x^{2}}[1+x(x-2)]\)，而学生写成了 \(2(x-1)^{2}e^{x^{2}}>0\)，这是错误的。不过，学生正确使用了零点定理证明存在 \(\xi\in(1,2)\) 使 \(F(\xi)=0\)，核心证明思路正确。由于导数计算错误但不影响最终使用零点定理的结论，根据"思路正确不扣分"原则，此处不扣分。但需注意，学生将 \(\xi\) 误写为 \(\varepsilon\)（第一次识别）和正确写为 \(\xi\)（第二次识别），根据"误写不扣分"原则，不扣分。因此第(I)问得满分。

（2）得分及理由（满分0分）

第(II)问中，学生试图构造辅助函数 \(g(x)\) 并使用零点定理。但在两次识别中，\(g(x)\) 的定义均存在问题：第一次识别为 \(g(x)=xe^{x^{2}}\ln 2-\int_{1}^{2}e^{t^{2}}dt\)，第二次识别为 \(g(x)=xe^{x^{2}}\ln2-\int_{1}^{x^{2}}e^{t^{2}}dt\)。这两种定义都不正确，因为需要证明的等式是 \(f(2)=\ln 2\cdot\eta e^{\eta^{2}}\)，即 \(\int_{1}^{2}e^{t^{2}}dt=\ln 2\cdot\eta e^{\eta^{2}}\)，而学生定义的 \(g(x)\) 与目标等式不符。此外，学生在最后写成了 \(g(2)=0\)（第二次识别），这显然是错误的。因此，学生的证明思路与标准答案（使用柯西中值定理）完全不同，且存在逻辑错误，无法证明结论。根据"逻辑错误扣分"原则，第(II)问得0分。

题目总分：5+0=5分