评分及理由

（1）得分及理由（满分0分）

本题为单一解答题，不设小问，直接对整体解答进行评分。

整体解答评分及理由

学生正确设定了点M、T、P的坐标，并建立了面积比的方程：\(\frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{\frac{1}{2}\cdot\frac{f^{2}(x)}{f'(x)}}=\frac{3}{2}\)，这与标准答案一致，思路正确。

学生引入\(F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\)，将方程整理为\(F(x)=\frac{3}{4}\frac{[F'(x)]^{2}}{F'(x)}\)。这里存在逻辑错误：正确的整理应为\(F(x)=\frac{3}{4}\frac{[F'(x)]^{2}}{F''(x)}\)（因为\(f'(x)=F''(x)\)），但学生写成了\(F'(x)\)，导致后续推导错误。这是一个关键的逻辑错误，应扣分。

后续推导中，学生从错误的方程直接得出\(F(x)=(C_{1}F(x))^{\frac{3}{4}}x + C_{2}\)，这一步缺乏合理的数学推导，属于逻辑错误。虽然最终得到\(f(x)=C_{5}x^{3}\)且正确指出\(C_{5}>0\)，与标准答案一致，但推导过程存在严重缺陷。

考虑到学生正确建立了初始方程并得出最终正确形式，但中间推导有重大逻辑错误，给予部分分数。满分假设为10分，扣分如下：

• 逻辑错误（错误整理方程和无效推导）：扣4分
• 最终答案正确但推导不严谨：扣1分
• 得分：5分

注：识别中的字符错误（如括号不匹配）视为误写，不扣分。

题目总分：5分