评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生使用反证法证明P可逆：假设P不可逆，则存在不全为零的k₁,k₂使得k₁α+k₂Aα=0。由于α≠0，若k₂=0则k₁α=0推出k₁=0，矛盾，故k₂≠0，从而Aα=-(k₁/k₂)α，说明α是A的特征向量，与已知矛盾。论证逻辑完整正确。但第一次识别中写的是“k₁与k₂不为0”，表述不够准确（应为不全为零），不过第二次识别已修正为“k₁与k₂不为0”但结合上下文可理解本意。核心逻辑正确，不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分10分）

学生计算AP=(Aα, A²α)，利用条件A²α+Aα-6α=0得A²α=6α-Aα，于是AP=(Aα,6α-Aα)=P[[0,6],[1,-1]]。这一步正确。但在第一次识别中矩阵写为[[0,6],[1,-1]]，第二次识别中误写为[[0,b],[1,-1]]（b应为6），这是明显的识别错误，根据规则不扣分。

接着求P⁻¹AP=[[0,6],[1,-1]]（记为B），计算特征多项式|λE-B|=λ²+λ-6=(λ+3)(λ-2)，得到两个不同的特征值-3和2，从而B可对角化。最后正确推断A∼B且B可对角化，故A可对角化。逻辑链条完整正确。得10分。

题目总分：5+10=15分