评分及理由

（1）变换过程得分及理由（满分5分）

第一次识别：学生使用了错误的变换 \( t = \tan x \)，但计算过程中出现了多处错误。如 \(\frac{dy}{dx} = (1+t^2)\frac{dy}{dt}\) 正确，但二阶导数计算错误，且代入原方程时错误地将 \(\cos^4 x \frac{d^2y}{dx^2}\) 写成 \(\cos x \frac{dy}{dx} + 2\cos^3 x(1-\sin x\cos x)\frac{d^2y}{dx^2}\)，这是严重的逻辑错误。虽然最终化简得到 \(\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}+y=t\)，但过程存在多处错误，扣3分，得2分。

第二次识别：学生错误地使用了 \( t = \tan\frac{x}{2} \) 的变换，这与题目要求的 \( t = \tan x \) 不符，属于根本性的逻辑错误。虽然后续计算在自身体系下逻辑一致，但变换错误导致整个推导无效，扣5分，得0分。

综合两次识别，取最高分2分。

（2）求解新方程得分及理由（满分3分）

第一次识别：学生正确写出了齐次方程的通解 \( Y = C_1e^{-t} + C_2te^{-t} \) 和特解形式 \( y^* = At+B \)，并正确解得 \( y^* = t-2 \)。虽然前面变换过程有误，但求解新方程部分逻辑正确，不扣分，得3分。

第二次识别：同样正确写出了齐次通解和特解，并正确解得 \( y^* = t-2 \)，得3分。

综合两次识别，得3分。

（3）写出原方程通解得分及理由（满分2分）

第一次识别：学生写出了 \( y = C_1e^{-t} + C_2te^{-t} + t - 2 \)，但未将 \( t \) 换回 \( \tan x \)，这是未完成题目要求的逻辑错误，扣1分，得1分。

第二次识别：同样只写出了关于 \( t \) 的通解，未换回原变量，扣1分，得1分。

综合两次识别，得1分。

题目总分：2+3+1=6分