评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

第一次识别结果：

• 学生正确进行了部分分式分解，但初始分解系数有误：原式写为 \(\frac{1}{5}\int_{0}^{1}(\frac{1}{x+1} - \frac{x-3}{x^2-2x+2})dx\)，而标准分解应为 \(\frac{1}{5}\int_{0}^{1}(\frac{1}{x+1} + \frac{-x+3}{x^2-2x+2})dx\)。学生写成了 \(-\frac{x-3}{x^2-2x+2}\)，这等价于 \(\frac{-x+3}{x^2-2x+2}\)，因此分解正确，不扣分。
• 在拆分积分时，学生将 \(-\frac{1}{5}\int_{0}^{1}\frac{x-3}{x^2-2x+2}dx\) 拆分为 \(-\frac{1}{5}\int_{0}^{1}\frac{x-2}{x^2-2x+2}dx + \frac{1}{5}\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2-2x+2}dx\)，这是正确的代数变形。
• 计算 \(\int_{0}^{1}\frac{1}{x+1}dx = \ln2\) 正确。
• 计算 \(\int_{0}^{1}\frac{x-3}{x^2-2x+2}dx\) 时，学生拆分为 \(\int_{0}^{1}\frac{x-1}{x^2-2x+2}dx - \int_{0}^{1}\frac{2}{x^2-2x+2}dx\)，并正确计算：
  • \(\int_{0}^{1}\frac{x-1}{x^2-2x+2}dx = \frac{1}{2}\ln(x^2-2x+2)\big|_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\ln2\)
  • \(\int_{0}^{1}\frac{2}{x^2-2x+2}dx = 2\arctan(x-1)\big|_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}\)
  • 因此 \(\int_{0}^{1}\frac{x-3}{x^2-2x+2}dx = -\frac{1}{2}\ln2 - \frac{\pi}{2}\)
• 代入原式：\(\frac{1}{5}(\ln2 - (-\frac{1}{2}\ln2 - \frac{\pi}{2})) = ...