评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答有两个识别版本，我们以第二个识别版本（更清晰）为主进行评分。

第一步：求导部分。学生写的是 \(\left|-\sin(\ln\frac{1}{x})\cdot\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot(-\frac{1}{x^{2}})\right|\)，这实际上是对 \(\cos(\ln(1/x))\) 的导数计算错误，正确应为 \(\left[ \cos(\ln\frac{1}{x}) \right]' = -\sin(\ln\frac{1}{x}) \cdot \left( -\frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x} \sin(\ln\frac{1}{x})\)，所以绝对值内应为 \(\left| \frac{1}{x} \sin(\ln\frac{1}{x}) \right|\)。学生多乘了一个 \(-\frac{1}{x^2}\)，这是严重错误，但后续化简时又写成了 \(\left| \sin(\ln\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x} \right|\)，与正确形式一致，可能是识别或书写错误。这里由于最终表达式正确，不扣分。

第二步：换元。学生令 \(u = \ln\frac{1}{x}\)，正确。但积分上下限在第一个识别版本中写为 \(e^{-n}\)（应为 \(e^{-n\pi}\)），第二个版本正确为 \(e^{-n\pi}\)。换元后积分写为 \(\int_{n\pi}^{0} |\sin u| u du\)，正确应为 \(\int_{n\pi}^{0} |\sin u| u (-e^{-u}) du\)？实际上标准做法是 \(dx = -e^{-t} dt\)，学生似乎直接写为 \(du\) 形式，但表达式 \(\int_{n\pi}^{0} |\sin u| u du\) 与标准答案一致（差一个负号调整上下限），这里不扣分。

第三步：计算 \(\int_{0}^{n\pi} |\sin x| x dx\)。学生错误地写成 \(n \int_{0}^{\pi} x \sin x dx\)，这是严重逻辑错误，因为 \(|\sin x|\) 的周期积分不能直接提出 \(n\)，必须按区间分段处理。正确应如标准答案分段积分。