评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生使用了正确的代换方法，令 \( t = \sqrt{\frac{1+x}{x}} \)，并正确计算了 \( dx = \frac{-2t}{(t^2-1)^2} dt \)。在分部积分过程中，学生正确写出了第一步：

\[ \int \ln(1+t) \cdot \frac{-2t}{(t^2-1)^2} dt = \frac{1}{t^2-1} \ln(1+t) - \int \frac{1}{t^2-1} \cdot \frac{1}{1+t} dt \]

但在计算积分 \( \int \frac{1}{(t^2-1)(t+1)} dt \) 时出现了逻辑错误。学生写为：

\[ -\frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{t+3}{(t+1)^2} \right) dt \]

而正确分解应为：

\[ \frac{1}{(t^2-1)(t+1)} = \frac{1}{(t-1)(t+1)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} - \frac{2}{(t+1)^2} \right) \]

学生的分解错误导致后续积分结果不正确。虽然最终代回 \( t \) 的步骤思路正确，但由于中间计算错误，最终答案与标准答案不符。

考虑到学生正确使用了代换法和分部积分法的主要思路，但在部分分式分解这一关键步骤出现错误，扣3分。

得分：7分

题目总分：7分