评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出二次型矩阵为 \(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}\)，与标准答案一致。得4分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确指出矩阵的秩为1、迹为14，并得出特征值为14,0,0。特征向量 \(\xi_1\) 正确，但 \(\xi_2\) 和 \(\xi_3\) 的符号与标准答案相反（标准答案为 \((-2,1,0)^T\) 和 \((-3,-6,5)^T\)，学生为 \((2,-1,0)^T\) 和 \((3,6,-5)^T\)）。由于特征向量可以相差一个负号，这属于等价形式，不扣分。正交矩阵 \(Q\) 的构造和标准型推导正确。得4分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生由 \(y_1=0\) 得到解的形式，但最终计算结果 \(x=(2k_1+3k_2,-k_1,6k_1-5k_2)^T\) 有误。标准答案为 \(x=k_1(-2,1,0)^T+k_2(-3,-6,5)^T\)。学生的向量与标准答案线性无关，但未正确表示零空间基向量，存在逻辑错误。扣2分，得2分。

题目总分：4+4+2=10分