评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是4，而标准答案是8。首先，我们需要分析原题给出的行列式条件：

已知行列式 \(|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}|=4\)，要求计算 \(|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}|\)。

观察两个行列式的关系：第二个行列式可以通过对第一个行列式进行行交换得到。具体来说，将第一个行列式的第一行与第三行交换，再将新的第一行与第二行交换（相当于两次行交换），可以得到第二个行列式的形式，但第二行第一列的元素是1而不是a，第三行第二列的元素是b而不是2。因此，不能直接通过行交换得到相同行列式。

实际上，标准解法是：先计算第一个行列式，得到关于a的方程，解出a的值；然后代入第二个行列式，并注意到b的出现使得第二个行列式可能依赖于b，但原题中第二个行列式应能通过已知条件确定，与b无关。计算第一个行列式：

\(|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}| = a \cdot |\begin{array}{ll}a & 1 \\ 2 & a\end{array}| - 0 \cdot |\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}| + 1 \cdot |\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 2\end{array}| = a(a^2 - 2) + 1(2 - a) = a^3 - 2a + 2 - a = a^3 - 3a + 2\)。

设 \(a^3 - 3a + 2 = 4\)，即 \(a^3 - 3a - 2 = 0\)，解得 \(a = 2\)（因式分解得 \((a-2)(a^2+2a+1)=0\)，所以a=2或a=-1，但需验证）。代入a=2，第一个行列式值为8-6+2=4，符合；a=-1，值为-1+3+2=4，也符合。因此a=2或a=-1。

然后计算第二个行列式：

\(|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b ...