评分及理由

（1）分部积分步骤得分及理由（满分4分）

学生作答中分部积分步骤基本正确，设 \( u = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) \)，\( dv = d\left(\frac{1}{1 - x^2}\right) \)，得到： \[ -\frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(x + \sqrt{1 + x^2})}{1 - x^2} - \int \frac{1}{1 - x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx \right] \] 与标准答案一致。但学生一开始写的是 \( -\frac{1}{2} \int \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) d\left(\frac{1}{1 - x^2}\right) \)，而标准答案是 \( +\frac{1}{2} \int \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) d\left(\frac{1}{1 - x^2}\right) \)，这里符号有误，属于逻辑错误。由于后续计算中符号一直保持错误，扣1分。得分：3分。

（2）积分 \( I_1 \) 计算得分及理由（满分6分）

学生通过代换 \( x = \tan t \) 计算 \( I_1 = \int \frac{1}{1 - x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx \)，步骤正确： \[ I_1 = \int \frac{\cos t}{\cos^2 t - \sin^2 t} dt = \int \frac{1}{\cos 2t} d(\sin t) \] 再令 \( u = \sin t \)，得到 \( I_1 = \int \frac{1}{1 - 2u^2} du \)。部分分式分解和积分结果 \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln \left| \frac{1 + \sqrt{2}u}{1 - \sqrt{2}u} \right| \) 正确。代回 \( u = \sin t = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \) 也正确。但学生最终表达式为 \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln \left| \frac{1 + \sqrt{2} \sin(\arctan x...