评分及理由

（1）分割区域与积分表达式（满分2分）

学生正确识别了分割曲线 \(x = \frac{1}{\sqrt{1 + y^{2}}}\)，并将区域 \(D\) 正确分割为 \(D_1\) 和 \(D_2\)，积分表达式也正确。第一次识别中 \(D_2\) 的积分函数误写为 \(\frac{x^2 y}{\sqrt{x+1}}\)，但第二次识别已修正为 \(\frac{x^2 y}{\sqrt{2}x + 1}\)，根据禁止扣分规则第3条，以正确版本为准，不扣分。得2分。

（2）计算 \(I_1\)（满分4分）

学生正确设置了积分限，对 \(x\) 积分得到 \(\frac{1}{2} \frac{\arctan^2 y}{1+y^2}\)，并正确进行变量代换 \(u = \arctan y\)。第一次识别中最终结果误写为 \(\frac{\pi^3}{84} \cdot \frac{\pi^3}{384}\)，但第二次识别已修正为 \(\frac{\pi^3}{384}\)，根据禁止扣分规则第3条，以正确版本为准，不扣分。得4分。

（3）计算 \(I_2\)（满分6分）

学生正确设置了积分限，对 \(y\) 积分得到 \(\frac{1}{2} \frac{x^2}{\sqrt{2}x+1} \left(1 - \frac{1-x^2}{x^2}\right) = \frac{1}{2} (\sqrt{2}x - 1)\)，并正确计算定积分。最终结果 \(\frac{3\sqrt{2}-4}{8}\) 正确。得6分。

题目总分：2+4+6=12分