评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一部分证明存在两个不同的零点。思路基本正确：通过积分中值定理和零点定理证明存在一点使得函数值为正，再分别在两个区间上应用零点定理得到两个零点。但证明中存在以下问题：

• “由保号性，在a的右邻域内f(x)<0”这一表述不够严谨，因为保号性通常用于极限，这里应直接由连续性得到。
• 积分中值定理的应用中，f(η)应取在[a+δ,b]上某点的函数值，但学生未明确说明η∈(a+δ,b)，且积分中值定理要求被积函数连续，这里f(x)连续，所以适用。
• 整体逻辑链条完整，核心步骤正确，但表述不够严密。

扣1分，得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

第二部分证明存在η使得f'(η)+[f(η)]^k=0。学生思路与标准答案不同，试图通过构造辅助函数并应用零点定理。但存在以下严重逻辑错误：

• 学生假设存在“第一次取到极大值点x1”和“最后一次取到极大值点x2”且f(x1)>0, f(x2)>0，但未证明这样的点存在，且未说明为何在(a,x1)上存在η1使得f(η1)=0且f'(η1)>0，在(x2,b)上存在η2使得f(η2)=0且f'(η2)<0。这些断言缺乏依据。
• 构造F(x)=f'(x)+[f(x)]^k后，直接断言F(η1)>0, F(η2)<0，但f(η1)=0, f(η2)=0，所以F(η1)=f'(η1), F(η2)=f'(η2)，而f'(η1)>0, f'(η2)<0的假设未经过证明，且与已知条件无关。
• 整体证明逻辑不成立，无法得出结论。

扣6分，得0分。

题目总分：5+0=5分