评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是“2”，这与标准答案一致。

题目中矩阵 \( A = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&2\\0&1&1\end{pmatrix} \)，计算其行列式可得 \( \det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 0 + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 \)，因此矩阵 \( A \) 是奇异的，秩小于3。进一步计算可知其秩为2。

由于 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是3维线性无关的列向量，它们构成可逆矩阵。因此，\( (A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3) = A (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \)。矩阵乘以可逆矩阵不改变秩，故该矩阵的秩等于 \( A \) 的秩，即2。

学生答案正确，得4分。

题目总分：4分