评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了极限的局部保号性，由\(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} < 0\)推出在0附近\(f(x) < 0\)，并结合\(f(1) > 0\)应用零点定理，得出在\((0,1)\)内至少存在一个实根。思路完整，逻辑正确。但表述中"\(f(1) \cdot \lim_{x \to 0^+} f(x) < 0\)"这一写法不规范，不过核心逻辑正确，不影响结论。扣1分，得4分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确构造了\(g(x) = f(x)f'(x)\)，并指出\(g'(x)\)即为所求方程的左端。找到了\(g(c) = 0\)（其中\(c\)是\(f(x)=0\)的根）。但未证明存在第二个零点。标准答案中通过\(f'(0) < 0\)和拉格朗日中值定理得到\(f'(\eta) > 0\)，进而由零点定理得到\(f'(\xi_1) = 0\)，从而\(g(\xi_1) = 0\)。学生缺少这一关键步骤，无法证明存在两个不同实根。扣3分，得2分。

题目总分：4+2=6分