评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 -4，而标准答案是 -2。题目要求当 \(x \to 0\) 时，函数 \(f(x) = a x + b x^{2} + \ln(1+x)\) 与 \(g(x) = e^{x^{2}} - \cos x\) 是等价无穷小，需要求出 \(a \cdot b\) 的值。

等价无穷小意味着 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)。为了满足这个条件，需要将 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 展开为泰勒级数（或使用等价无穷小替换），并比较系数。

• 对于 \(f(x)\)：\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\)，所以 \(f(x) = a x + b x^2 + x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) = (a+1)x + \left(b - \frac{1}{2}\right)x^2 + O(x^3)\)。
• 对于 \(g(x)\)：\(e^{x^2} = 1 + x^2 + O(x^4)\)，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)\)，所以 \(g(x) = (1 + x^2) - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + O(x^4) = \frac{3}{2}x^2 + O(x^4)\)。

由于 \(g(x)\) 的展开式中 \(x\) 项系数为 0，要使 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)，\(f(x)\) 的 \(x\) 项系数必须为 0，即 \(a + 1 = 0\)，解得 \(a = -1\)。同时，\(f(x)\) 的 \(x^2\) 项系数必须等于 \(g(x)\) 的 \(x^2\) 项系数，即 \(b - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)，解得 \(b = 2\)。因此，\(a \cdot b = (-1) \times 2 = -2\)。

学生答案 -4 表明在计算过程中出现了逻辑错误，例如可能错误地设定了系数关系或进行了不正确的代数运算。由于答案错误，且题目为填空题，根据评分标准，错误答案得 0 分。

得分...